Holger Nobach - nambis.de

Signal- und Messdatenverarbeitung

Codes für stochastisch abgetastete, reelle, periodische Einzelsignale, ohne Gewichtung

		Python	Matlab/Octave
Vorbereitung (Laden von Modulen/Paketen)		`from numpy import * from numpy.random import * from matplotlib.pyplot import *`
Generieren von Wertepaaren $(t_{i}, x_{i})$ mit den Messzeitpunkten $t_{i}$ und den Messwerten $x_{i}$ (Superposition zweier harmonischer Signale als Beispiel, mit Erwartungswert verschieden von null)		`T=1000.0 dr=5.0 mxs=3.0 axs=1.5 t=[] x=[] te=0.0 while te<T: tp=exponential(1.0/dr) te+=tp if te<T: t.append(te) x.append(axssin(0.1pite)+axssin(0.05pite)+mxs) t=array(t) x=array(x) plot(t,x,'o') show()`	`T=1000; dr=5; mxs=3; axs=1.5; t=[]; x=[]; te=0; while te<T tp=-log(1-rand())/dr; te=te+tp; if te<T t(end+1)=te; x(end+1)=axssin(0.1pite)+axssin(0.05pite)+mxs; end end plot(t,x,'o')`
Mittelwert	$\overline{x} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}$	`mean(x)`	`mean(x)`
Varianz (ohne Bessel-Korrektur, asymptotisch erwartungstreu)	$s^{2} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2} = (\frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}) - {\overline{x}}^{2}$	`var(x)`	`var(x,1)`
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Slotkorrelation (ohne Selbstprodukte durch $b_{k} (0) = 0$ , auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall ist)	$R_{k} = R (τ_{k}) = \frac{\sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j = 0}^{N - 1} b_{k} (t_{j} - t_{i}) x_{i} x_{j}}{\sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j = 0}^{N - 1} b_{k} (t_{j} - t_{i})}$ $b_{k} (t) = {\begin{matrix} 1 & falls 0 < \| t + c T \| < Δ t / 2 für irgendein ganzes c \\ 0 & sonst \end{matrix}$ $τ_{k} = k Δ t$ $k = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$ $K = [T / Δ t]$ $P_{j} = P (f_{j}) = \frac{1}{K} \cdot F F T {R_{k}} = \frac{1}{K} \cdot \sum_{k = ⌊ K / 2 ⌋}^{⌊ (K - 1) / 2 ⌋} R_{k} 𝐞^{- 2 π 𝐢 j k / K}$ (imaginäre Einheit $𝐢$ ) $f_{j} = \frac{j}{K Δ t}$ $j = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$	from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R1=zeros(K) R0=zeros(K) for i in range(1,N): for j in range(0,i): k=int(round((t[j]-t[i]-Tround((t[j]-t[i])/float(T)))/float(dt))) R1[k]+=x[i]x[j] R0[k]+=1.0 for k in range(-(K//2),1): R1[k]+=R1[-k] R0[k]+=R0[-k] for k in range(1,(K+1)//2): R1[k]=R1[-k] R0[k]=R0[-k] R=R1/R0 plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(Kdt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R1=zeros(1,K); R0=zeros(1,K); for i=2:N for j=1:i-1 k=round((t(j)-t(i)-Tround((t(j)-t(i))/T))/dt); R1(mod(K+k,K)+1)=R1(mod(K+k,K)+1)+x(i)x(j); R0(mod(K+k,K)+1)=R0(mod(K+k,K)+1)+1; end end R1(1)=2R1(1); R0(1)=2R0(1); for k=fix((K+1)/2)+1:K R1(k)=R1(k)+R1(K-k+2); R0(k)=R0(k)+R0(K-k+2); end for k=2:fix((K+1)/2) R1(k)=R1(K-k+2); R0(k)=R0(K-k+2); end R=R1./R0; plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Slotkorrelation (ohne Selbstprodukte durch $b_{k} (0) = 0$ , mit lokaler Normierung, auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall ist)	$R_{k} = R (τ_{k}) = \frac{s^{2} [\sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j = 0}^{N - 1} b_{k} (t_{j} - t_{i}) (x_{i} - \overline{x}) (x_{j} - \overline{x})]}{\sqrt{[\sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j = 0}^{N - 1} b_{k} (t_{j} - t_{i}) {(x_{i} - \overline{x})}^{2}] [\sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j = 0}^{N - 1} b_{k} (t_{j} - t_{i}) {(x_{j} - \overline{x})}^{2}]}} + {\overline{x}}^{2}$ $b_{k} (t) = {\begin{matrix} 1 & falls 0 < \| t + c T \| < Δ t / 2 für irgendein ganzes c \\ 0 & sonst \end{matrix}$ $τ_{k} = k Δ t$ $k = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$ $K = [T / Δ t]$ $P_{j} = P (f_{j}) = \frac{1}{K} \cdot F F T {R_{k}} = \frac{1}{K} \cdot \sum_{k = ⌊ K / 2 ⌋}^{⌊ (K - 1) / 2 ⌋} R_{k} 𝐞^{- 2 π 𝐢 j k / K}$ (imaginäre Einheit $𝐢$ ) $f_{j} = \frac{j}{K Δ t}$ $j = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$	from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) mxe=mean(x) vxe=var(x) R1=zeros(K) R2=zeros(K) R3=zeros(K) for i in range(1,N): for j in range(0,i): k=int(round((t[j]-t[i]-Tround((t[j]-t[i])/float(T)))/float(dt))) R1[k]+=(x[i]-mxe)(x[j]-mxe) R2[k]+=(x[i]-mxe)2 R3[k]+=(x[j]-mxe)2 for k in range(-(K//2),1): R1[k]+=R1[-k] R2[k]+=R3[-k] if k%K!=(-k)%K: R3[k]+=R2[-k] else: R3[k]=R2[-k] for k in range(1,(K+1)//2): R1[k]=R1[-k] R2[k]=R3[-k] R3[k]=R2[-k] R=vxeR1/sqrt(R2R3)+mxe2 plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(Kdt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); mxe=mean(x); vxe=var(x,1); R1=zeros(1,K); R2=zeros(1,K); R3=zeros(1,K); for i=2:N for j=1:i-1 k=round((t(j)-t(i)-Tround((t(j)-t(i))/T))/dt); R1(mod(K+k,K)+1)=R1(mod(K+k,K)+1)+(x(i)-mxe)(x(j)-mxe); R2(mod(K+k,K)+1)=R2(mod(K+k,K)+1)+(x(i)-mxe)^2; R3(mod(K+k,K)+1)=R3(mod(K+k,K)+1)+(x(j)-mxe)^2; end end R1(1)=2R1(1); R2(1)=R2(1)+R3(1); R3(1)=R2(1); for k=fix((K+1)/2)+1:K R1(k)=R1(k)+R1(K-k+2); R2(k)=R2(k)+R3(K-k+2); if mod(k,K)~=mod(K-k+2,K) R3(k)=R3(k)+R2(K-k+2); else R3(k)=R2(K-k+2); end end for k=2:fix((K+1)/2) R1(k)=R1(K-k+2); R2(k)=R3(K-k+2); R3(k)=R2(K-k+2); end R=vxeR1./sqrt(R2.R3)+mxe^2; plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(K*dt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über direkte Spektralschätzung (Fourier-Transformation, mit Abzug der Selbstprodukte, ohne Normierung)	$E_{j} = E (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {{\| X_{j} \|}^{2} - \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}}$ $X_{j} = \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i} 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ (imaginäre Einheit $𝐢$ ) $f_{j} = \frac{j}{J Δ t}$ $j = - ⌊ J / 2 ⌋ \dots ⌊ (J - 1) / 2 ⌋$ $J = [T / Δ t]$ $R_{E, k} = R_{E} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{k} = R (τ_{k}) = \frac{1}{T} R_{E, k}$ $τ_{k} = k Δ t$ $k = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$ $K = J = [T / Δ t]$ $P_{j} = P (f_{j}) = \frac{1}{K} \cdot F F T {R_{k}} = \frac{1}{K} \cdot \sum_{k = ⌊ K / 2 ⌋}^{⌊ (K - 1) / 2 ⌋} R_{k} 𝐞^{- 2 π 𝐢 j k / K}$ $f_{j} = \frac{j}{K Δ t}$ $j = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$	from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 J=int(round(T/float(dt))) fp=arange(0,J//2+1)/float(Jdt) X=zeros(size(fp))+0j for i in range(0,N): X+=x[i]exp(-2jpifpt[i]) E=zeros(J) for k in range(0,J//2+1): E[k]=T2(abs(X[k])2-sum(x2))/float(N*2-N) for k in range(-(J//2-1),0): E[k]=E[-k] RE=real(ifft(E))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=RE[k]/float(T) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(K*dt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; J=round(T/dt); fp=(0:fix(J/2))/(Jdt); X=zeros(size(fp))+0j; for i=1:N X=X+x(i)exp(-2jpifpt(i)); end E=zeros([1,J]); for k=1:fix(J/2)+1 E(k)=T^2(abs(X(k)).^2-sum(x.^2))/(N^2-N); end for k=fix(J/2)+2:J E(k)=E(J-k+2); end RE=real(ifft(E))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=RE(k)/T; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über direkte Spektralschätzung (Fourier-Transformation, mit Abzug der Selbstprodukte, mit Normierung, auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall ist)	$E_{j} = E (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {{\| X_{j} \|}^{2} - \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}}$ $E_{j}^{'} = E^{'} (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {{\| X_{j}^{'} \|}^{2} - N}$ $X_{j} = \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i} 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ $X_{j}^{'} = \sum_{i = 0}^{N - 1} 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ (imaginäre Einheit $𝐢$ ) $f_{j} = \frac{j}{J Δ t}$ $j = - ⌊ J / 2 ⌋ \dots ⌊ (J - 1) / 2 ⌋$ $J = [T / Δ t]$ $R_{E, k} = R_{E} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{E, k}^{'} = R_{E}^{'} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}^{'}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j}^{'} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{k} = R (τ_{k}) = \frac{R_{E, k}}{R_{E, k}^{'}}$ $τ_{k} = k Δ t$ $k = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$ $K = J = [T / Δ t]$ $P_{j} = P (f_{j}) = \frac{1}{K} \cdot F F T {R_{k}} = \frac{1}{K} \cdot \sum_{k = ⌊ K / 2 ⌋}^{⌊ (K - 1) / 2 ⌋} R_{k} 𝐞^{- 2 π 𝐢 j k / K}$ $f_{j} = \frac{j}{K Δ t}$ $j = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$	from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 J=int(round(T/float(dt))) fp=arange(0,J//2+1)/float(Jdt) X=zeros(size(fp))+0j Xp=zeros(size(fp))+0j for i in range(0,N): X+=x[i]exp(-2jpifpt[i]) Xp+=exp(-2jpifpt[i]) E=zeros(J) Ep=zeros(J) for k in range(0,J//2+1): E[k]=T*2(abs(X[k])2-sum(x2))/float(N2-N) Ep[k]=T2(abs(Xp[k])2-N)/float(N2-N) for k in range(-(J//2-1),0): E[k]=E[-k] Ep[k]=Ep[-k] RE=real(ifft(E))/float(dt) REp=real(ifft(Ep))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=RE[k]/float(REp[k]) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(K*dt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; J=round(T/dt); fp=(0:fix(J/2))/(Jdt); X=zeros(size(fp))+0j; Xp=zeros(size(fp))+0j; for i=1:N X=X+x(i)exp(-2jpifpt(i)); Xp=Xp+exp(-2jpifpt(i)); end E=zeros([1,J]); Ep=zeros([1,J]); for k=1:fix(J/2)+1 E(k)=T^2(abs(X(k)).^2-sum(x.^2))/(N^2-N); Ep(k)=T^2(abs(Xp(k)).^2-N)/(N^2-N); end for k=fix(J/2)+2:J E(k)=E(J-k+2); Ep(k)=Ep(J-k+2); end RE=real(ifft(E))/dt; REp=real(ifft(Ep))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=RE(k)/REp(k); end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über direkte Spektralschätzung (Fourier-Transformation, mit Abzug der Selbstprodukte, mit lokaler Normierung, auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall ist)	$E_{j} = E (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {{\| X_{j} \|}^{2} - \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}$ $E_{j}^{'} = E^{'} (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {X_{j}^{'' } X_{j}^{'} - \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}$ $E_{j}^{''} = E^{''} (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {X_{j}^{' } X_{j}^{''} - \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}$ $X_{j} = \sum_{i = 0}^{N - 1} (x_{i} - \overline{x}) 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ $X_{j}^{'} = \sum_{i = 0}^{N - 1} 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ $X_{j}^{''} = \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2} 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ (imaginäre Einheit $𝐢$ ) $f_{j} = \frac{j}{J Δ t}$ $j = - ⌊ J / 2 ⌋ \dots ⌊ (J - 1) / 2 ⌋$ $J = [T / Δ t]$ $R_{E, k} = R_{E} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{E, k}^{'} = R_{E}^{'} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}^{'}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j}^{'} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{E, k}^{''} = R_{E}^{''} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}^{''}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j}^{''} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{k} = R (τ_{k}) = \frac{s^{2} R_{E, k}}{\sqrt{R_{E, k}^{'} R_{E, k}^{''}}} + {\overline{x}}^{2}$ $τ_{k} = k Δ t$ $k = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$ $K = J = [T / Δ t]$ $P_{j} = P (f_{j}) = \frac{1}{K} \cdot F F T {R_{k}} = \frac{1}{K} \cdot \sum_{k = ⌊ K / 2 ⌋}^{⌊ (K - 1) / 2 ⌋} R_{k} 𝐞^{- 2 π 𝐢 j k / K}$ $f_{j} = \frac{j}{K Δ t}$ $j = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$	from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 mxe=mean(x) vxe=var(x) J=int(round(T/float(dt))) fp=arange(0,J//2+1)/float(Jdt) X=zeros(size(fp))+0j Xp=zeros(size(fp))+0j Xpp=zeros(size(fp))+0j for i in range(0,N): X+=(x[i]-mxe)exp(-2jpifpt[i]) Xp+=exp(-2jpifpt[i]) Xpp+=(x[i]-mxe)*2exp(-2jpifpt[i]) E=zeros(J) Ep=zeros(J) Epp=zeros(J) for k in range(0,J//2+1): E[k]=T2(abs(X[k])2-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) Ep[k]=T2(conj(Xpp[k])Xp[k]-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) Epp[k]=T*2(conj(Xp[k])Xpp[k]-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) for k in range(-(J//2-1),0): E[k]=E[-k] Ep[k]=Ep[-k] Epp[k]=Epp[-k] RE=real(ifft(E))/float(dt) REp=real(ifft(Ep))/float(dt) REpp=real(ifft(Epp))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=vxeRE[k]/sqrt(REp[k]REpp[k])+mxe*2 plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(Kdt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; mxe=mean(x); vxe=var(x,1); J=round(T/dt); fp=(0:fix(J/2))/(Jdt); X=zeros(size(fp))+0j; Xp=zeros(size(fp))+0j; Xpp=zeros(size(fp))+0j; for i=1:N X=X+(x(i)-mxe)exp(-2jpifpt(i)); Xp=Xp+exp(-2jpifpt(i)); Xpp=Xpp+(x(i)-mxe)^2exp(-2jpifpt(i)); end E=zeros([1,J]); Ep=zeros([1,J]); Epp=zeros([1,J]); for k=1:fix(J/2)+1 E(k)=T^2(abs(X(k)).^2-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); Ep(k)=T^2(conj(Xpp(k))Xp(k)-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); Epp(k)=T^2(conj(Xp(k))Xpp(k)-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); end for k=fix(J/2)+2:J E(k)=E(J-k+2); Ep(k)=Ep(J-k+2); Epp(k)=Epp(J-k+2); end RE=real(ifft(E))/dt; REp=real(ifft(Ep))/dt; REpp=real(ifft(Epp))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=vxeRE(k)/sqrt(REp(k)REpp(k))+mxe^2; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(K*dt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über direkte Spektralschätzung (Lomb-Scargle-Methode, mit Abzug der Selbstprodukte, ohne Normierung, ohne Korrektur des dynamischen Fehlers)		from numpy.fft import * import scipy.signal as scisig N=len(x) dt=1.0 mxe=mean(x) J=int(round(T/float(dt))) fp=arange(1,J//2+1)/float(Jdt) X=scisig.lombscargle(t,x-mxe,2pifp) E=zeros(J) for k in range(0,J//2+1): E[k]=T2(NX[k-1]-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) for k in range(-((J-1)//2),0): E[k]=E[-k] RE=real(ifft(E))/float(dt)+Tmxe*2 K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=RE[k]/float(T) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(len(R)//2),(len(R)+1)//2)/float(len(R)*dt),(len(R)+1)//2) P=real(fft(R))/float(len(R)) plot(f,P,'o') show()	N=length(x); dt=1.0; mxe=mean(x); J=round(T/dt); fp=(1:fix(J/2)+1)/(Jdt); X=plomb(x-mxe,t,fp)/2; E=zeros(1,J); for k=2:fix(J/2)+1 E(k)=T^2(N^2X(k-1)/T-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); end for k=fix(J/2)+2:J E(k)=E(J-k+2); end RE=real(ifft(E))/dt+Tmxe^2; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros(1,K); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=RE(k)/T; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(length(R)/2):fix((length(R)-1)/2))/(length(R)dt),[0;fix((length(R)+1)/2)]); P=real(fft(R))/length(R); plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Zeitquantisierung (mit Abzug der Selbstprodukte, ohne Normierung)		from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 J=int(round(T/float(dt))) x1=zeros(J) for i in range(0,N): j=int(floor((t[i]-Tfloor(t[i]/float(T)))/float(dt))) x1[j]+=x[i]; X=fft(x1) E=T2(abs(X)2-sum(x2))/float(N*2-N) RE=real(ifft(E))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=RE[k]/float(T) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(K*dt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	`N=length(t); dt=1.0; J=round(T/dt); x1=zeros([1,J]); for i=1:N j=fix((t(i)-Tfix(t(i)/T))/dt)+1; x1(j)=x1(j)+x(i); end X=fft(x1); E=T^2(abs(X).^2-sum(x.^2))/(N^2-N); RE=real(ifft(E))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=RE(k)/T; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')`
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Zeitquantisierung (mit Abzug der Selbstprodukte, mit Normierung, auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall ist)		from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 J=int(round(T/float(dt))) x0=zeros(J) x1=zeros(J) for i in range(0,N): j=int(floor((t[i]-Tfloor(t[i]/float(T)))/float(dt))) x0[j]+=1.0; x1[j]+=x[i]; X=fft(x1) Xp=fft(x0) E=T2(abs(X)2-sum(x2))/float(N2-N) Ep=T2(abs(Xp)2-N)/float(N2-N) RE=real(ifft(E))/float(dt) REp=real(ifft(Ep))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=RE[k]/float(REp[k]) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(K*dt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; J=round(T/dt); x0=zeros([1,J]); x1=zeros([1,J]); for i=1:N j=fix((t(i)-Tfix(t(i)/T))/dt)+1; x0(j)=x0(j)+1; x1(j)=x1(j)+x(i); end X=fft(x1); Xp=fft(x0); E=T^2(abs(X).^2-sum(x.^2))/(N^2-N); Ep=T^2(abs(Xp).^2-N)/(N^2-N); RE=real(ifft(E))/dt; REp=real(ifft(Ep))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=RE(k)/REp(k); end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(K*dt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Zeitquantisierung (mit Abzug der Selbstprodukte, mit lokaler Normierun, auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall istg)		from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 mxe=mean(x) vxe=var(x) J=int(round(T/float(dt))) x0=zeros(J) x1=zeros(J) x2=zeros(J) for i in range(0,N): j=int(floor((t[i]-Tfloor(t[i]/float(T)))/float(dt))) x0[j]+=1.0; x1[j]+=x[i]-mxe; x2[j]+=(x[i]-mxe)2; X=fft(x1) Xp=fft(x0) Xpp=fft(x2) E=T2(abs(X)2-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) Ep=T2(conj(Xpp)Xp-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) Epp=T*2(conj(Xp)Xpp-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) RE=real(ifft(E))/float(dt) REp=real(ifft(Ep))/float(dt) REpp=real(ifft(Epp))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=vxeRE[k]/sqrt(REp[k]REpp[k])+mxe*2 plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(Kdt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; mxe=mean(x); vxe=var(x,1); J=round(T/dt); x0=zeros([1,J]); x1=zeros([1,J]); x2=zeros([1,J]); for i=1:N j=fix((t(i)-Tfix(t(i)/T))/dt)+1; x0(j)=x0(j)+1; x1(j)=x1(j)+x(i)-mxe; x2(j)=x2(j)+(x(i)-mxe)^2; end X=fft(x1); Xp=fft(x0); Xpp=fft(x2); E=T^2(abs(X).^2-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); Ep=T^2(conj(Xpp).Xp-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); Epp=T^2(conj(Xp).Xpp-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); RE=real(ifft(E))/dt; REp=real(ifft(Ep))/dt; REpp=real(ifft(Epp))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=vxeRE(k)/sqrt(REp(k)REpp(k))+mxe^2; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Interpolation (Sample-and-Hold, mit Filterkorrektur, ohne Normierung)		from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 J=int(round(T/float(dt))) xp=x[N-1]ones(J) for i in range(0,N-1): for j in range(int(floor(t[i]/float(dt)))+1,int(floor(t[i+1]/float(dt)))+1): if j<J: xp[j]=x[i] Xp=fft(xp) Ep=dt2abs(Xp)*2 REp=real(ifft(Ep))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) c=exp(-dd/float(dt))/(1-exp(-dd/float(dt)))*2 for k in range(-(K//2),(K+1)//2): if k==0: R[k]=REp[k]/float(T) else: R[k]=((2c+1)REp[k]-cREp[k-1]-cREp[k+1])/float(T) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(Kdt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; J=round(T/dt); xp=x(N)ones([1,J]); for i=1:N-1 for j=fix(t(i)/dt)+2:fix(t(i+1)/dt)+1 if j<=J xp(j)=x(i); end end end Xp=fft(xp); Ep=dt^2abs(Xp).^2; REp=real(ifft(Ep))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); c=exp(-dd/dt)/(1-exp(-dd/dt))^2; R(1)=REp(1)/T; for k=2:fix(K/2)+1 R(k)=((2c+1)REp(k)-cREp(k-1)-cREp(k+1))/T; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')

		Python	Matlab/Octave
Vorbereitung (Laden von Modulen/Paketen)		`from numpy import * from numpy.random import * from matplotlib.pyplot import *`
Generieren von Wertepaaren $(t_{i}, x_{i})$ mit den Messzeitpunkten $t_{i}$ und den Messwerten $x_{i}$ (Superposition zweier harmonischer Signale als Beispiel, mit Erwartungswert verschieden von null)		`T=1000.0 dr=5.0 mxs=3.0 axs=1.5 t=[] x=[] te=0.0 while te<T: tp=exponential(1.0/dr) te+=tp if te<T: t.append(te) x.append(axssin(0.1pite)+axssin(0.05pite)+mxs) t=array(t) x=array(x) plot(t,x,'o') show()`	`T=1000; dr=5; mxs=3; axs=1.5; t=[]; x=[]; te=0; while te<T tp=-log(1-rand())/dr; te=te+tp; if te<T t(end+1)=te; x(end+1)=axssin(0.1pite)+axssin(0.05pite)+mxs; end end plot(t,x,'o')`
Mittelwert	$\overline{x} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}$	`mean(x)`	`mean(x)`
Varianz (ohne Bessel-Korrektur, asymptotisch erwartungstreu)	$s^{2} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2} = (\frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}) - {\overline{x}}^{2}$	`var(x)`	`var(x,1)`
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Slotkorrelation (ohne Selbstprodukte durch $b_{k} (0) = 0$ , auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall ist)	$R_{k} = R (τ_{k}) = \frac{\sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j = 0}^{N - 1} b_{k} (t_{j} - t_{i}) x_{i} x_{j}}{\sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j = 0}^{N - 1} b_{k} (t_{j} - t_{i})}$ $b_{k} (t) = {\begin{matrix} 1 & falls 0 < \| t + c T \| < Δ t / 2 für irgendein ganzes c \\ 0 & sonst \end{matrix}$ $τ_{k} = k Δ t$ $k = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$ $K = [T / Δ t]$ $P_{j} = P (f_{j}) = \frac{1}{K} \cdot F F T {R_{k}} = \frac{1}{K} \cdot \sum_{k = ⌊ K / 2 ⌋}^{⌊ (K - 1) / 2 ⌋} R_{k} 𝐞^{- 2 π 𝐢 j k / K}$ (imaginäre Einheit $𝐢$ ) $f_{j} = \frac{j}{K Δ t}$ $j = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$	from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R1=zeros(K) R0=zeros(K) for i in range(1,N): for j in range(0,i): k=int(round((t[j]-t[i]-Tround((t[j]-t[i])/float(T)))/float(dt))) R1[k]+=x[i]x[j] R0[k]+=1.0 for k in range(-(K//2),1): R1[k]+=R1[-k] R0[k]+=R0[-k] for k in range(1,(K+1)//2): R1[k]=R1[-k] R0[k]=R0[-k] R=R1/R0 plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(Kdt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R1=zeros(1,K); R0=zeros(1,K); for i=2:N for j=1:i-1 k=round((t(j)-t(i)-Tround((t(j)-t(i))/T))/dt); R1(mod(K+k,K)+1)=R1(mod(K+k,K)+1)+x(i)x(j); R0(mod(K+k,K)+1)=R0(mod(K+k,K)+1)+1; end end R1(1)=2R1(1); R0(1)=2R0(1); for k=fix((K+1)/2)+1:K R1(k)=R1(k)+R1(K-k+2); R0(k)=R0(k)+R0(K-k+2); end for k=2:fix((K+1)/2) R1(k)=R1(K-k+2); R0(k)=R0(K-k+2); end R=R1./R0; plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Slotkorrelation (ohne Selbstprodukte durch $b_{k} (0) = 0$ , mit lokaler Normierung, auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall ist)	$R_{k} = R (τ_{k}) = \frac{s^{2} [\sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j = 0}^{N - 1} b_{k} (t_{j} - t_{i}) (x_{i} - \overline{x}) (x_{j} - \overline{x})]}{\sqrt{[\sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j = 0}^{N - 1} b_{k} (t_{j} - t_{i}) {(x_{i} - \overline{x})}^{2}] [\sum_{i = 0}^{N - 1} \sum_{j = 0}^{N - 1} b_{k} (t_{j} - t_{i}) {(x_{j} - \overline{x})}^{2}]}} + {\overline{x}}^{2}$ $b_{k} (t) = {\begin{matrix} 1 & falls 0 < \| t + c T \| < Δ t / 2 für irgendein ganzes c \\ 0 & sonst \end{matrix}$ $τ_{k} = k Δ t$ $k = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$ $K = [T / Δ t]$ $P_{j} = P (f_{j}) = \frac{1}{K} \cdot F F T {R_{k}} = \frac{1}{K} \cdot \sum_{k = ⌊ K / 2 ⌋}^{⌊ (K - 1) / 2 ⌋} R_{k} 𝐞^{- 2 π 𝐢 j k / K}$ (imaginäre Einheit $𝐢$ ) $f_{j} = \frac{j}{K Δ t}$ $j = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$	from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) mxe=mean(x) vxe=var(x) R1=zeros(K) R2=zeros(K) R3=zeros(K) for i in range(1,N): for j in range(0,i): k=int(round((t[j]-t[i]-Tround((t[j]-t[i])/float(T)))/float(dt))) R1[k]+=(x[i]-mxe)(x[j]-mxe) R2[k]+=(x[i]-mxe)2 R3[k]+=(x[j]-mxe)2 for k in range(-(K//2),1): R1[k]+=R1[-k] R2[k]+=R3[-k] if k%K!=(-k)%K: R3[k]+=R2[-k] else: R3[k]=R2[-k] for k in range(1,(K+1)//2): R1[k]=R1[-k] R2[k]=R3[-k] R3[k]=R2[-k] R=vxeR1/sqrt(R2R3)+mxe2 plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(Kdt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); mxe=mean(x); vxe=var(x,1); R1=zeros(1,K); R2=zeros(1,K); R3=zeros(1,K); for i=2:N for j=1:i-1 k=round((t(j)-t(i)-Tround((t(j)-t(i))/T))/dt); R1(mod(K+k,K)+1)=R1(mod(K+k,K)+1)+(x(i)-mxe)(x(j)-mxe); R2(mod(K+k,K)+1)=R2(mod(K+k,K)+1)+(x(i)-mxe)^2; R3(mod(K+k,K)+1)=R3(mod(K+k,K)+1)+(x(j)-mxe)^2; end end R1(1)=2R1(1); R2(1)=R2(1)+R3(1); R3(1)=R2(1); for k=fix((K+1)/2)+1:K R1(k)=R1(k)+R1(K-k+2); R2(k)=R2(k)+R3(K-k+2); if mod(k,K)~=mod(K-k+2,K) R3(k)=R3(k)+R2(K-k+2); else R3(k)=R2(K-k+2); end end for k=2:fix((K+1)/2) R1(k)=R1(K-k+2); R2(k)=R3(K-k+2); R3(k)=R2(K-k+2); end R=vxeR1./sqrt(R2.R3)+mxe^2; plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(K*dt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über direkte Spektralschätzung (Fourier-Transformation, mit Abzug der Selbstprodukte, ohne Normierung)	$E_{j} = E (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {{\| X_{j} \|}^{2} - \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}}$ $X_{j} = \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i} 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ (imaginäre Einheit $𝐢$ ) $f_{j} = \frac{j}{J Δ t}$ $j = - ⌊ J / 2 ⌋ \dots ⌊ (J - 1) / 2 ⌋$ $J = [T / Δ t]$ $R_{E, k} = R_{E} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{k} = R (τ_{k}) = \frac{1}{T} R_{E, k}$ $τ_{k} = k Δ t$ $k = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$ $K = J = [T / Δ t]$ $P_{j} = P (f_{j}) = \frac{1}{K} \cdot F F T {R_{k}} = \frac{1}{K} \cdot \sum_{k = ⌊ K / 2 ⌋}^{⌊ (K - 1) / 2 ⌋} R_{k} 𝐞^{- 2 π 𝐢 j k / K}$ $f_{j} = \frac{j}{K Δ t}$ $j = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$	from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 J=int(round(T/float(dt))) fp=arange(0,J//2+1)/float(Jdt) X=zeros(size(fp))+0j for i in range(0,N): X+=x[i]exp(-2jpifpt[i]) E=zeros(J) for k in range(0,J//2+1): E[k]=T2(abs(X[k])2-sum(x2))/float(N*2-N) for k in range(-(J//2-1),0): E[k]=E[-k] RE=real(ifft(E))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=RE[k]/float(T) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(K*dt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; J=round(T/dt); fp=(0:fix(J/2))/(Jdt); X=zeros(size(fp))+0j; for i=1:N X=X+x(i)exp(-2jpifpt(i)); end E=zeros([1,J]); for k=1:fix(J/2)+1 E(k)=T^2(abs(X(k)).^2-sum(x.^2))/(N^2-N); end for k=fix(J/2)+2:J E(k)=E(J-k+2); end RE=real(ifft(E))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=RE(k)/T; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über direkte Spektralschätzung (Fourier-Transformation, mit Abzug der Selbstprodukte, mit Normierung, auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall ist)	$E_{j} = E (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {{\| X_{j} \|}^{2} - \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}}$ $E_{j}^{'} = E^{'} (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {{\| X_{j}^{'} \|}^{2} - N}$ $X_{j} = \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i} 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ $X_{j}^{'} = \sum_{i = 0}^{N - 1} 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ (imaginäre Einheit $𝐢$ ) $f_{j} = \frac{j}{J Δ t}$ $j = - ⌊ J / 2 ⌋ \dots ⌊ (J - 1) / 2 ⌋$ $J = [T / Δ t]$ $R_{E, k} = R_{E} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{E, k}^{'} = R_{E}^{'} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}^{'}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j}^{'} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{k} = R (τ_{k}) = \frac{R_{E, k}}{R_{E, k}^{'}}$ $τ_{k} = k Δ t$ $k = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$ $K = J = [T / Δ t]$ $P_{j} = P (f_{j}) = \frac{1}{K} \cdot F F T {R_{k}} = \frac{1}{K} \cdot \sum_{k = ⌊ K / 2 ⌋}^{⌊ (K - 1) / 2 ⌋} R_{k} 𝐞^{- 2 π 𝐢 j k / K}$ $f_{j} = \frac{j}{K Δ t}$ $j = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$	from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 J=int(round(T/float(dt))) fp=arange(0,J//2+1)/float(Jdt) X=zeros(size(fp))+0j Xp=zeros(size(fp))+0j for i in range(0,N): X+=x[i]exp(-2jpifpt[i]) Xp+=exp(-2jpifpt[i]) E=zeros(J) Ep=zeros(J) for k in range(0,J//2+1): E[k]=T*2(abs(X[k])2-sum(x2))/float(N2-N) Ep[k]=T2(abs(Xp[k])2-N)/float(N2-N) for k in range(-(J//2-1),0): E[k]=E[-k] Ep[k]=Ep[-k] RE=real(ifft(E))/float(dt) REp=real(ifft(Ep))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=RE[k]/float(REp[k]) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(K*dt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; J=round(T/dt); fp=(0:fix(J/2))/(Jdt); X=zeros(size(fp))+0j; Xp=zeros(size(fp))+0j; for i=1:N X=X+x(i)exp(-2jpifpt(i)); Xp=Xp+exp(-2jpifpt(i)); end E=zeros([1,J]); Ep=zeros([1,J]); for k=1:fix(J/2)+1 E(k)=T^2(abs(X(k)).^2-sum(x.^2))/(N^2-N); Ep(k)=T^2(abs(Xp(k)).^2-N)/(N^2-N); end for k=fix(J/2)+2:J E(k)=E(J-k+2); Ep(k)=Ep(J-k+2); end RE=real(ifft(E))/dt; REp=real(ifft(Ep))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=RE(k)/REp(k); end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über direkte Spektralschätzung (Fourier-Transformation, mit Abzug der Selbstprodukte, mit lokaler Normierung, auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall ist)	$E_{j} = E (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {{\| X_{j} \|}^{2} - \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}$ $E_{j}^{'} = E^{'} (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {X_{j}^{'' } X_{j}^{'} - \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}$ $E_{j}^{''} = E^{''} (f_{j}) = \frac{T^{2}}{N (N - 1)} {X_{j}^{' } X_{j}^{''} - \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}$ $X_{j} = \sum_{i = 0}^{N - 1} (x_{i} - \overline{x}) 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ $X_{j}^{'} = \sum_{i = 0}^{N - 1} 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ $X_{j}^{''} = \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2} 𝐞^{- 2 π 𝐢 f_{j} t_{i}}$ (imaginäre Einheit $𝐢$ ) $f_{j} = \frac{j}{J Δ t}$ $j = - ⌊ J / 2 ⌋ \dots ⌊ (J - 1) / 2 ⌋$ $J = [T / Δ t]$ $R_{E, k} = R_{E} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{E, k}^{'} = R_{E}^{'} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}^{'}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j}^{'} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{E, k}^{''} = R_{E}^{''} (τ_{k}) = \frac{1}{Δ t} \cdot I F F T {E_{j}^{''}} = \frac{1}{J Δ t} \cdot \sum_{j = - ⌊ J / 2 ⌋}^{⌊ (J - 1) / 2 ⌋} E_{j}^{''} 𝐞^{2 π 𝐢 f_{j} τ_{k} / J}$ $R_{k} = R (τ_{k}) = \frac{s^{2} R_{E, k}}{\sqrt{R_{E, k}^{'} R_{E, k}^{''}}} + {\overline{x}}^{2}$ $τ_{k} = k Δ t$ $k = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$ $K = J = [T / Δ t]$ $P_{j} = P (f_{j}) = \frac{1}{K} \cdot F F T {R_{k}} = \frac{1}{K} \cdot \sum_{k = ⌊ K / 2 ⌋}^{⌊ (K - 1) / 2 ⌋} R_{k} 𝐞^{- 2 π 𝐢 j k / K}$ $f_{j} = \frac{j}{K Δ t}$ $j = - ⌊ K / 2 ⌋ \dots ⌊ (K - 1) / 2 ⌋$	from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 mxe=mean(x) vxe=var(x) J=int(round(T/float(dt))) fp=arange(0,J//2+1)/float(Jdt) X=zeros(size(fp))+0j Xp=zeros(size(fp))+0j Xpp=zeros(size(fp))+0j for i in range(0,N): X+=(x[i]-mxe)exp(-2jpifpt[i]) Xp+=exp(-2jpifpt[i]) Xpp+=(x[i]-mxe)*2exp(-2jpifpt[i]) E=zeros(J) Ep=zeros(J) Epp=zeros(J) for k in range(0,J//2+1): E[k]=T2(abs(X[k])2-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) Ep[k]=T2(conj(Xpp[k])Xp[k]-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) Epp[k]=T*2(conj(Xp[k])Xpp[k]-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) for k in range(-(J//2-1),0): E[k]=E[-k] Ep[k]=Ep[-k] Epp[k]=Epp[-k] RE=real(ifft(E))/float(dt) REp=real(ifft(Ep))/float(dt) REpp=real(ifft(Epp))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=vxeRE[k]/sqrt(REp[k]REpp[k])+mxe*2 plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(Kdt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; mxe=mean(x); vxe=var(x,1); J=round(T/dt); fp=(0:fix(J/2))/(Jdt); X=zeros(size(fp))+0j; Xp=zeros(size(fp))+0j; Xpp=zeros(size(fp))+0j; for i=1:N X=X+(x(i)-mxe)exp(-2jpifpt(i)); Xp=Xp+exp(-2jpifpt(i)); Xpp=Xpp+(x(i)-mxe)^2exp(-2jpifpt(i)); end E=zeros([1,J]); Ep=zeros([1,J]); Epp=zeros([1,J]); for k=1:fix(J/2)+1 E(k)=T^2(abs(X(k)).^2-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); Ep(k)=T^2(conj(Xpp(k))Xp(k)-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); Epp(k)=T^2(conj(Xp(k))Xpp(k)-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); end for k=fix(J/2)+2:J E(k)=E(J-k+2); Ep(k)=Ep(J-k+2); Epp(k)=Epp(J-k+2); end RE=real(ifft(E))/dt; REp=real(ifft(Ep))/dt; REpp=real(ifft(Epp))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=vxeRE(k)/sqrt(REp(k)REpp(k))+mxe^2; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(K*dt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über direkte Spektralschätzung (Lomb-Scargle-Methode, mit Abzug der Selbstprodukte, ohne Normierung, ohne Korrektur des dynamischen Fehlers)		from numpy.fft import * import scipy.signal as scisig N=len(x) dt=1.0 mxe=mean(x) J=int(round(T/float(dt))) fp=arange(1,J//2+1)/float(Jdt) X=scisig.lombscargle(t,x-mxe,2pifp) E=zeros(J) for k in range(0,J//2+1): E[k]=T2(NX[k-1]-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) for k in range(-((J-1)//2),0): E[k]=E[-k] RE=real(ifft(E))/float(dt)+Tmxe*2 K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=RE[k]/float(T) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(len(R)//2),(len(R)+1)//2)/float(len(R)*dt),(len(R)+1)//2) P=real(fft(R))/float(len(R)) plot(f,P,'o') show()	N=length(x); dt=1.0; mxe=mean(x); J=round(T/dt); fp=(1:fix(J/2)+1)/(Jdt); X=plomb(x-mxe,t,fp)/2; E=zeros(1,J); for k=2:fix(J/2)+1 E(k)=T^2(N^2X(k-1)/T-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); end for k=fix(J/2)+2:J E(k)=E(J-k+2); end RE=real(ifft(E))/dt+Tmxe^2; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros(1,K); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=RE(k)/T; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(length(R)/2):fix((length(R)-1)/2))/(length(R)dt),[0;fix((length(R)+1)/2)]); P=real(fft(R))/length(R); plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Zeitquantisierung (mit Abzug der Selbstprodukte, ohne Normierung)		from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 J=int(round(T/float(dt))) x1=zeros(J) for i in range(0,N): j=int(floor((t[i]-Tfloor(t[i]/float(T)))/float(dt))) x1[j]+=x[i]; X=fft(x1) E=T2(abs(X)2-sum(x2))/float(N*2-N) RE=real(ifft(E))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=RE[k]/float(T) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(K*dt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	`N=length(t); dt=1.0; J=round(T/dt); x1=zeros([1,J]); for i=1:N j=fix((t(i)-Tfix(t(i)/T))/dt)+1; x1(j)=x1(j)+x(i); end X=fft(x1); E=T^2(abs(X).^2-sum(x.^2))/(N^2-N); RE=real(ifft(E))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=RE(k)/T; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')`
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Zeitquantisierung (mit Abzug der Selbstprodukte, mit Normierung, auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall ist)		from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 J=int(round(T/float(dt))) x0=zeros(J) x1=zeros(J) for i in range(0,N): j=int(floor((t[i]-Tfloor(t[i]/float(T)))/float(dt))) x0[j]+=1.0; x1[j]+=x[i]; X=fft(x1) Xp=fft(x0) E=T2(abs(X)2-sum(x2))/float(N2-N) Ep=T2(abs(Xp)2-N)/float(N2-N) RE=real(ifft(E))/float(dt) REp=real(ifft(Ep))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=RE[k]/float(REp[k]) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(K*dt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; J=round(T/dt); x0=zeros([1,J]); x1=zeros([1,J]); for i=1:N j=fix((t(i)-Tfix(t(i)/T))/dt)+1; x0(j)=x0(j)+1; x1(j)=x1(j)+x(i); end X=fft(x1); Xp=fft(x0); E=T^2(abs(X).^2-sum(x.^2))/(N^2-N); Ep=T^2(abs(Xp).^2-N)/(N^2-N); RE=real(ifft(E))/dt; REp=real(ifft(Ep))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=RE(k)/REp(k); end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(K*dt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Zeitquantisierung (mit Abzug der Selbstprodukte, mit lokaler Normierun, auch für den Fall, dass die anzuwendende Periode kleiner als das Beobachtungsintervall istg)		from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 mxe=mean(x) vxe=var(x) J=int(round(T/float(dt))) x0=zeros(J) x1=zeros(J) x2=zeros(J) for i in range(0,N): j=int(floor((t[i]-Tfloor(t[i]/float(T)))/float(dt))) x0[j]+=1.0; x1[j]+=x[i]-mxe; x2[j]+=(x[i]-mxe)2; X=fft(x1) Xp=fft(x0) Xpp=fft(x2) E=T2(abs(X)2-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) Ep=T2(conj(Xpp)Xp-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) Epp=T*2(conj(Xp)Xpp-sum((x-mxe)2))/float(N2-N) RE=real(ifft(E))/float(dt) REp=real(ifft(Ep))/float(dt) REpp=real(ifft(Epp))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) for k in range(-(K//2),(K+1)//2): R[k]=vxeRE[k]/sqrt(REp[k]REpp[k])+mxe*2 plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(Kdt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; mxe=mean(x); vxe=var(x,1); J=round(T/dt); x0=zeros([1,J]); x1=zeros([1,J]); x2=zeros([1,J]); for i=1:N j=fix((t(i)-Tfix(t(i)/T))/dt)+1; x0(j)=x0(j)+1; x1(j)=x1(j)+x(i)-mxe; x2(j)=x2(j)+(x(i)-mxe)^2; end X=fft(x1); Xp=fft(x0); Xpp=fft(x2); E=T^2(abs(X).^2-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); Ep=T^2(conj(Xpp).Xp-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); Epp=T^2(conj(Xp).Xpp-sum((x-mxe).^2))/(N^2-N); RE=real(ifft(E))/dt; REp=real(ifft(Ep))/dt; REpp=real(ifft(Epp))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); for k=1:fix(K/2)+1 R(k)=vxeRE(k)/sqrt(REp(k)REpp(k))+mxe^2; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')
Autokorrelationsfunktion und Leistungsspektrum über Interpolation (Sample-and-Hold, mit Filterkorrektur, ohne Normierung)		from numpy.fft import * N=len(t) dt=1.0 J=int(round(T/float(dt))) xp=x[N-1]ones(J) for i in range(0,N-1): for j in range(int(floor(t[i]/float(dt)))+1,int(floor(t[i+1]/float(dt)))+1): if j<J: xp[j]=x[i] Xp=fft(xp) Ep=dt2abs(Xp)*2 REp=real(ifft(Ep))/float(dt) K=int(round(T/float(dt))) tau=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)dt,(K+1)//2) R=zeros(K) c=exp(-dd/float(dt))/(1-exp(-dd/float(dt)))*2 for k in range(-(K//2),(K+1)//2): if k==0: R[k]=REp[k]/float(T) else: R[k]=((2c+1)REp[k]-cREp[k-1]-cREp[k+1])/float(T) plot(tau,R,'o') show() f=roll(arange(-(K//2),(K+1)//2)/float(Kdt),(K+1)//2) P=real(fft(R))/float(K) plot(f,P,'o') show()	N=length(t); dt=1.0; J=round(T/dt); xp=x(N)ones([1,J]); for i=1:N-1 for j=fix(t(i)/dt)+2:fix(t(i+1)/dt)+1 if j<=J xp(j)=x(i); end end end Xp=fft(xp); Ep=dt^2abs(Xp).^2; REp=real(ifft(Ep))/dt; K=round(T/dt); tau=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))dt,[0;fix((K+1)/2)]); R=zeros([1,K]); c=exp(-dd/dt)/(1-exp(-dd/dt))^2; R(1)=REp(1)/T; for k=2:fix(K/2)+1 R(k)=((2c+1)REp(k)-cREp(k-1)-cREp(k+1))/T; end for k=fix(K/2)+2:K R(k)=R(K-k+2); end plot(tau,R,'o') f=circshift((-fix(K/2):fix((K-1)/2))/(Kdt),[0;fix((K+1)/2)]); P=real(fft(R))/K; plot(f,P,'o')