Holger Nobach - nambis.de

Signal- und Messdatenverarbeitung

Momente incl. Korrelationskoeffizient reeller Zufallsgrößen, mit Gewichtung

		Python	Matlab/Octave
Vorbereitung (Laden von Modulen/Paketen)		`from numpy import * from numpy.random import * from matplotlib.pyplot import *`	`%Octave: pkg load statistics %Matlab: erfordert die Statistics and Machine Learning Toolbox`
Generieren von $N$ Werten $x_{i}$ mit $i = 0 \dots N - 1$ (normalverteilte Zufallsgröße als Beispiel, mit dem Erwartungswert $μ = 3$ und der Standardabweichung $σ = 1$ ) mit einer vom Wert abhängigen Annahmewahrscheinlichkeit (verschobene Sigmoidfunktion als Beispiel)		`N=100 mu=3 sigma=1 x=zeros(N) for i in range(0,N): x[i]=normal(mu,sigma) while random()>1/(1+exp(-(x[i]-mu))): x[i]=normal(mu,sigma) plot(x,'o') show()`	`N=100; mu=3; sigma=1; x=zeros(1,N); for i=1:N x(i)=normrnd(mu,sigma); while rand>1/(1+exp(-(x(i)-mu))) x(i)=normrnd(mu,sigma); end end plot(x,'o')`
Generieren von $N$ Gewichten $g_{i}$ mit $i = 0 \dots N - 1$ , passend zu den $x_{i}$ mit $i = 0 \dots N - 1$ mit invertierter Annahmewahrscheinlichkeit (verschobene Sigmoidfunktion)		`g=1+exp(-(x-mu)) plot(g,'o') show()`	`g=1+exp(-(x-mu)); plot(g,'o')`
Mittelwert	$γ_{1} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}$ $\overline{x} = \frac{1}{γ_{1}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})$	`gamma1=float(sum(g)) sum(g*x)/gamma1`	`gamma1=sum(g); sum(g.*x)/gamma1`
Varianz (ohne Bessel-Korrektur, asymptotisch erwartungstreu)	$γ_{1} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}$ $s^{2} = \frac{1}{γ_{1}} [\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}] = \frac{1}{γ_{1}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) - {\overline{x}}^{2} = \frac{1}{γ_{1}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) - \frac{1}{γ_{1}^{2}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})$	`gamma1=float(sum(g)) sum(gx2)/gamma1-(sum(gx)/gamma1)**2`	`gamma1=sum(g); sum(g.x.^2)/gamma1-(sum(g.x)/gamma1)^2`
Varianz (mit Bessel-Korrektur, nur für unabhängige $x_{i}$ erwartungstreu)	$γ_{1} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}$ $γ_{2} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{2}$ $s^{2} = \frac{γ_{1}}{γ_{1}^{2} - γ_{2}} [\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}] = \frac{γ_{1}}{γ_{1}^{2} - γ_{2}} [(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) - γ_{1} {\overline{x}}^{2}]$ $= \frac{1}{γ_{1}^{2} - γ_{2}} [γ_{1} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) - {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})}^{2}]$	`gamma1=float(sum(g)) gamma2=float(sum(g*2)) (gamma1sum(gx2)-sum(gx)2)/(gamma12-gamma2)`	`gamma1=sum(g); gamma2=sum(g.^2); (gamma1sum(g.x.^2)-sum(g.*x)^2)/(gamma1^2-gamma2)`
Zentralmoment dritten Grades (ohne Bessel-Korrektur, asymptotisch erwartungstreu)	$γ_{1} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}$ ${\hat{μ}}_{3} = \frac{1}{γ_{1}} [\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {(x_{i} - \overline{x})}^{3}] = \frac{1}{γ_{1}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{3}) - \frac{3 \overline{x}}{γ_{1}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) + 2 {\overline{x}}^{3}$ $= \frac{1}{γ_{1}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{3}) - \frac{3}{γ_{1}^{2}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}) (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) + \frac{2}{γ_{1}^{3}} {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})}^{3}$	`gamma1=float(sum(g)) sum(gx3)/gamma1-3sum(gx)sum(gx2)/gamma12+2(sum(gx)/gamma1)*3`	`gamma1=sum(g); sum(g.x.^3)/gamma1-3sum(g.x)sum(g.x.^2)/gamma1^2+2(sum(g.*x)/gamma1)^3`
Zentralmoment dritten Grades (mit Bessel-Korrektur, nur für unabhängige $x_{i}$ erwartungstreu)	$γ_{1} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}$ $γ_{2} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{2}$ $γ_{3} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{3}$ ${\hat{μ}}_{3} = \frac{γ_{1}}{γ_{1}^{3} - 3 γ_{1} γ_{2} + 2 γ_{3}} [\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {(x_{i} - \overline{x})}^{3}] = \frac{γ_{1}^{2}}{γ_{1}^{3} - 3 γ_{1} γ_{2} + 2 γ_{3}} [(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{3}) - 3 \overline{x} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) + 2 γ_{1} {\overline{x}}^{3}]$ $= \frac{1}{γ_{1}^{3} - 3 γ_{1} γ_{2} + 2 γ_{3}} [γ_{1}^{2} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{3}) - 3 γ_{1} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}) (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) + 2 {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})}^{3}]$	`gamma1=float(sum(g)) gamma2=float(sum(g2)) gamma3=float(sum(g3)) (gamma1*2sum(gx3)-3gamma1sum(gx)sum(gx*2)+2sum(gx)3)/(gamma13-3gamma1gamma2-2gamma3)`	`gamma1=sum(g); gamma2=sum(g.^2); gamma3=sum(g.^3); (gamma1^2sum(g.x.^3)-3gamma1sum(g.x)sum(g.x.^2)+2sum(g.x)^3)/(gamma1^3-3gamma1gamma2-2gamma3)`
Zentralmoment vierten Grades (ohne Bessel-Korrektur, asymptotisch erwartungstreu)	$γ_{1} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}$ ${\hat{μ}}_{4} = \frac{1}{γ_{1}} [\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {(x_{i} - \overline{x})}^{4}] = \frac{1}{γ_{1}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{4}) - \frac{4 \overline{x}}{γ_{1}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{3}) + \frac{6 {\overline{x}}^{2}}{γ_{1}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) - 3 {\overline{x}}^{4}$ $= \frac{1}{γ_{1}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{4}) - \frac{4}{γ_{1}^{2}} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}) (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{3}) + \frac{6}{γ_{1}^{3}} {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})}^{2} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) - \frac{3}{γ_{1}^{4}} {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})}^{4}$	`gamma1=float(sum(g)) sum(gx4)/gamma1-4sum(gx)sum(gx3)/gamma12+6sum(gx)2sum(gx2)/gamma13-3(sum(gx)/gamma1)*4`	`gamma1=sum(g); sum(g.x.^4)/gamma1-4sum(g.x)sum(g.x.^3)/gamma1^2+6sum(g.x)^2sum(g.x.^2)/gamma1^3-3(sum(g.*x)/gamma1)^4`
Zentralmoment vierten Grades (mit Bessel-Korrektur, nur für unabhängige $x_{i}$ erwartungstreu)	$γ_{1} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}$ $γ_{2} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{2}$ $γ_{3} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{3}$ $γ_{4} = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{4}$ $u = \frac{γ_{1}^{7} - 6 γ_{1}^{5} γ_{2} + 12 γ_{1}^{3} γ_{2}^{2} - 12 γ_{1}^{2} γ_{2} γ_{3} - 9 γ_{1} γ_{2}^{3} + 9 γ_{1} γ_{2} γ_{4} + 6 γ_{2}^{2} γ_{3} + 4 γ_{1}^{4} γ_{3} + 4 γ_{1} γ_{3}^{2} - 6 γ_{3} γ_{4} - 3 γ_{1}^{3} γ_{4}}{(γ_{1}^{2} - γ_{2}) (γ_{1}^{3} - 3 γ_{1} γ_{2} + 2 γ_{3}) (γ_{1}^{4} - 6 γ_{1}^{2} γ_{2} + 8 γ_{1} γ_{3} + 3 γ_{2}^{2} - 6 γ_{4})}$ $v = \frac{9 γ_{1}^{3} γ_{2}^{2} - 10 γ_{1}^{2} γ_{2} γ_{3} - 9 γ_{1} γ_{2}^{3} + 9 γ_{1} γ_{2} γ_{4} + 4 γ_{1} γ_{3}^{2} - 6 γ_{3} γ_{4} - 3 γ_{1}^{3} γ_{4} - 2 γ_{1}^{5} γ_{2} + 2 γ_{1}^{4} γ_{3} + 6 γ_{2}^{2} γ_{3}}{(γ_{1}^{2} - γ_{2}) (γ_{1}^{3} - 3 γ_{1} γ_{2} + 2 γ_{3}) (γ_{1}^{4} - 6 γ_{1}^{2} γ_{2} + 8 γ_{1} γ_{3} + 3 γ_{2}^{2} - 6 γ_{4})}$ ${\hat{μ}}_{4} = \frac{γ_{1}^{3}}{γ_{1}^{4} - 6 γ_{1}^{2} γ_{2} + 8 γ_{1} γ_{3} + 3 γ_{2}^{2} - 6 γ_{4}} [\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {(x_{i} - \overline{x})}^{4}]$ $+ v [γ_{1} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{4}) - 4 (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}) (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{3}) + 3 {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2})}^{2}]$ $= u [γ_{1} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{4}) - 4 (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}) (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{3})] + 3 v {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2})}^{2}$ $+ \frac{3}{γ_{1}^{4} - 6 γ_{1}^{2} γ_{2} + 8 γ_{1} γ_{3} + 3 γ_{2}^{2} - 6 γ_{4}} [2 γ_{1} {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})}^{2} (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{2}) - {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})}^{4}]$	gamma1=float(sum(g)) gamma2=float(sum(g2)) gamma3=float(sum(g3)) gamma4=float(sum(g4)) (gamma17-6gamma15gamma2+12gamma13gamma2*2-12gamma1*2gamma2gamma3-9gamma1gamma23+9gamma1gamma2gamma4+6gamma22gamma3+4gamma14gamma3+4gamma1gamma3*2-6gamma3gamma4-3gamma1*3gamma4)/((gamma1*2-gamma2)(gamma1*3-3gamma1gamma2+2gamma3)(gamma14-6gamma1*2gamma2+8gamma1gamma3+3gamma22-6gamma4))(gamma1sum(gx4)-4sum(gx)sum(gx3))+3(9gamma13gamma2*2-10gamma1*2gamma2gamma3-9gamma1gamma23+9gamma1gamma2gamma4+4gamma1gamma3*2-6gamma3gamma4-3gamma1*3gamma4-2gamma15gamma2+2gamma14gamma3+6gamma22gamma3)/((gamma1*2-gamma2)(gamma1*3-3gamma1gamma2+2gamma3)(gamma14-6gamma1*2gamma2+8gamma1gamma3+3gamma22-6gamma4))sum(gx2)2+3/(gamma1*4-6gamma1*2gamma2+8gamma1gamma3+3gamma22-6gamma4)(2gamma1sum(gx)*2sum(gx2)-sum(gx)**4)	gamma1=sum(g); gamma2=sum(g.^2); gamma3=sum(g.^3); gamma4=sum(g.^4); (gamma1^7-6gamma1^5gamma2+12gamma1^3gamma2^2-12gamma1^2gamma2gamma3-9gamma1gamma2^3+9gamma1gamma2gamma4+6gamma2^2gamma3+4gamma1^4gamma3+4gamma1gamma3^2-6gamma3gamma4-3gamma1^3gamma4)/((gamma1^2-gamma2)(gamma1^3-3gamma1gamma2+2gamma3)(gamma1^4-6gamma1^2gamma2+8gamma1gamma3+3gamma2^2-6gamma4))(gamma1sum(g.x.^4)-4sum(g.x)sum(g.x.^3))+3(9gamma1^3gamma2^2-10gamma1^2gamma2gamma3-9gamma1gamma2^3+9gamma1gamma2gamma4+4gamma1gamma3^2-6gamma3gamma4-3gamma1^3gamma4-2gamma1^5gamma2+2gamma1^4gamma3+6gamma2^2gamma3)/((gamma1^2-gamma2)(gamma1^3-3gamma1gamma2+2gamma3)(gamma1^4-6gamma1^2gamma2+8gamma1gamma3+3gamma2^2-6gamma4))sum(g.x.^2)^2+3/(gamma1^4-6gamma1^2gamma2+8gamma1gamma3+3gamma2^2-6gamma4)(2gamma1sum(g.x)^2sum(g.x.^2)-sum(g.*x)^4)
Varianz (mit Bessel-Korrektur für korrelierte Daten, erwartungstreu, nur für Leistungssignale, s. hier)
Korrelationskoeffizient (nur für zwei Signale oder Zufallsgrößen, s. hier für Leistungssignale oder hier für periodische Signale)