Holger Nobach - nambis.de

Signal- und Messdatenverarbeitung

Momente incl. Korrelationskoeffizient reeller Zufallsgrößen, ohne Gewichtung

		Python	Matlab/Octave
Vorbereitung (Laden von Modulen/Paketen)		`from numpy import * from numpy.random import * from matplotlib.pyplot import *`	`%Octave: pkg load statistics %Matlab: erfordert die Statistics and Machine Learning Toolbox`
Generieren von $N$ Werten $x_{i}$ mit $i = 0 \dots N - 1$ (normalverteilte Zufallsgröße als Beispiel, mit dem Erwartungswert $μ = 3$ und der Standardabweichung $σ = 1$ )		`N=100 mu=3 sigma=1 x=normal(mu,sigma,N) plot(x,'o') show()`	`N=100; mu=3; sigma=1; x=normrnd(mu,sigma,[1,N]); plot(x,'o')`
Mittelwert	$\overline{x} = \frac{1}{N} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i})$	`mean(x)`	`mean(x)`
Varianz (ohne Bessel-Korrektur, asymptotisch erwartungstreu)	$s^{2} = \frac{1}{N} [\sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}] = \frac{1}{N} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}) - {\overline{x}}^{2}$	`var(x)`	`var(x,1)`
Varianz (mit Bessel-Korrektur, nur für unabhängige $x_{i}$ erwartungstreu)	$s^{2} = \frac{1}{N - 1} [\sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}] = \frac{1}{N - 1} [(\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}) - N {\overline{x}}^{2}]$	`var(x,ddof=1)`	`var(x)`
Zentralmoment dritten Grades (ohne Bessel-Korrektur, asymptotisch erwartungstreu)	${\hat{μ}}_{3} = \frac{1}{N} [\sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{3}] = \frac{1}{N} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{3}) - \frac{3 \overline{x}}{N} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}) + 2 {\overline{x}}^{3}$	`sum(x*3)/float(len(x))-3mean(x)sum(x2)/float(len(x))+2mean(x)**3`	`sum(x.^3)/length(x)-3mean(x)sum(x.^2)/length(x)+2*mean(x)^3`
Zentralmoment dritten Grades (mit Bessel-Korrektur, nur für unabhängige $x_{i}$ erwartungstreu)	${\hat{μ}}_{3} = \frac{N}{(N - 1) (N - 2)} [\sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{3}] = \frac{N}{(N - 1) (N - 2)} [(\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{3}) - 3 \overline{x} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}) + 2 N {\overline{x}}^{3}]$	`len(x)/float((len(x)-1)(len(x)-2))(sum(x*3)-3mean(x)sum(x2)+2len(x)mean(x)*3)`	`length(x)/((length(x)-1)(length(x)-2))(sum(x.^3)-3mean(x)sum(x.^2)+2length(x)mean(x)^3)`
Zentralmoment vierten Grades (ohne Bessel-Korrektur, asymptotisch erwartungstreu)	${\hat{μ}}_{4} = \frac{1}{N} [\sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{4}] = \frac{1}{N} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{4}) - \frac{4 \overline{x}}{N} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{3}) + \frac{6 {\overline{x}}^{2}}{N} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}) - 3 {\overline{x}}^{4}$	`sum(x*4)/float(len(x))-4mean(x)sum(x3)/float(len(x))+6mean(x)*2sum(x*2)/float(len(x))-3mean(x)**4`	`sum(x.^4)/length(x)-4mean(x)sum(x.^3)/length(x)+6mean(x)^2sum(x.^2)/length(x)-3*mean(x)^4`
Zentralmoment vierten Grades (mit Bessel-Korrektur, nur für unabhängige $x_{i}$ erwartungstreu)	${\hat{μ}}_{4} = \frac{N^{2}}{(N - 1) (N - 2) (N - 3)} [\sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{4}]$ $- \frac{2 N - 3}{(N - 1) (N - 2) (N - 3)} [(\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{4}) - 4 \overline{x} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{3}) + \frac{3}{N} {(\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2})}^{2}]$ $= \frac{N^{2} - 2 N + 3}{(N - 1) (N - 2) (N - 3)} [(\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{4}) - 4 \overline{x} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{3})]$ $- \frac{3 (2 N - 3)}{N (N - 1) (N - 2) (N - 3)} {(\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2})}^{2} + \frac{3 N^{2}}{(N - 1) (N - 2) (N - 3)} [2 {\overline{x}}^{2} (\sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{2}) - N {\overline{x}}^{4}]$	`(len(x)*2-2len(x)+3)/float((len(x)-1)(len(x)-2)(len(x)-3))(sum(x4)-4mean(x)sum(x3))-3(2len(x)-3)/float(len(x)(len(x)-1)(len(x)-2)(len(x)-3))sum(x2)2+3len(x)*2/float((len(x)-1)(len(x)-2)(len(x)-3))(2mean(x)2sum(x*2)-len(x)mean(x)**4)`	`(length(x)^2-2length(x)+3)/((length(x)-1)(length(x)-2)(length(x)-3))(sum(x.^4)-4mean(x)sum(x.^3))-3(2length(x)-3)/(length(x)(length(x)-1)(length(x)-2)(length(x)-3))sum(x.^2)^2+3length(x)^2/((length(x)-1)(length(x)-2)(length(x)-3))(2mean(x)^2sum(x.^2)-length(x)*mean(x)^4)`
lineare Trendbereinigung		`import scipy.signal as scisig x=scisig.detrend(x)`	`x=detrend(x);`
Trendbereinigung mit Polynom $p$ -ten Grades (Ergebnis der Regression $\tilde{x}$ )		`p=5 a=arange(0,N) c=polyfit(a,x,p) xtilde=zeros(N) for j in range(0,p+1): xtilde=(a*xtilde+c[j]) x-=xtilde`	`p=5; a=(1:N); c=polyfit(a,x,p); xtilde=zeros(1,N); for j=1:p+1 xtilde=(a.*xtilde+c(j)); end x=x-xtilde;`
Varianz nach Trendbereinigung mit Polynom $p$ -ten Grades (Ergebnis der Regression $\tilde{x}$ , mit Bessel-Korrektur, nur für unabhängige $x_{i}$ erwartungstreu)	$s^{2} = \frac{1}{N - p - 1} [\sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \tilde{x})}^{2}]$	`var(x,ddof=p+1)`	`N*var(x,1)/(N-p-1)`
Varianz (mit Bessel-Korrektur für korrelierte Daten, erwartungstreu, nur für Leistungssignale, s. hier)
Korrelationskoeffizient (nur für zwei Signale oder Zufallsgrößen, s. hier für Leistungssignale oder hier für periodische Signale)