Holger Nobach - nambis.de

Signal- und Messdatenverarbeitung

Momente incl. Korrelationskoeffizient komplexer Zufallsgrößen, mit Gewichtung

		Python	Matlab/Octave
Vorbereitung (Laden von Modulen/Paketen)		`from numpy import * from numpy.random import * from matplotlib.pyplot import *`	`%Octave: pkg load statistics %Matlab: erfordert die Statistics and Machine Learning Toolbox`
Generieren von $N$ Werten $x_{i}$ mit $i = 0 \dots N - 1$ (normalverteilte Zufallsgröße als Beispiel, mit dem Erwartungswert $μ = 3 + 1 𝐢$ und der Standardabweichung $σ = 1$ ) mit einer vom Wert abhängigen Annahmewahrscheinlichkeit (verschobene Sigmoidfunktion als Beispiel)		`N=100 mu=3+1j sigma=1 x=zeros(N)+0j for i in range(0,N): x[i]=normal(real(mu),sigma/sqrt(2))+1jnormal(imag(mu),sigma/sqrt(2)) while random()>1/(1+exp(-abs(x[i]-mu))): x[i]=normal(real(mu),sigma/sqrt(2))+1jnormal(imag(mu),sigma/sqrt(2)) plot(real(x),'o',imag(x),'o') show()`	`N=100; mu=3+1j; sigma=1; x=zeros(1,N)+0j; for i=1:N x(i)=normrnd(real(mu),sigma/sqrt(2))+1jnormrnd(imag(mu),sigma/sqrt(2)); while rand>1/(1+exp(-abs(x(i)-mu))) x(i)=normrnd(real(mu),sigma/sqrt(2))+1jnormrnd(imag(mu),sigma/sqrt(2)); end end plot((1:N),real(x),'o',(1:N),imag(x),'o')`
Generieren von $N$ reellen Gewichten $g_{i}$ mit $i = 0 \dots N - 1$ , passend zu den $x_{i}$ mit $i = 0 \dots N - 1$ mit invertierter Annahmewahrscheinlichkeit (verschobene Sigmoidfunktion)		`g=1+exp(-abs(x-mu)) plot(g,'o') show()`	`g=1+exp(-abs(x-mu)); plot(g,'o')`
Mittelwert	$\overline{x} = \frac{\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}}{\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}}$	`sum(g*x)/float(sum(g))`	`sum(g.*x)/sum(g)`
Varianz (ohne Bessel-Korrektur, asymptotisch erwartungstreu)	$s^{2} = \frac{\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {(x_{i} - \overline{x})}^{} (x_{i} - \overline{x})}{\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}} = \frac{\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {\| x_{i} - \overline{x} \|}^{2}}{\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}}$ $= \frac{\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{} x_{i}}{\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}} - {\overline{x}}^{*} \overline{x} = \frac{\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {\| x_{i} \|}^{2}}{\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}} - {\| \overline{x} \|}^{2}$	`sum(gabs(x)2)/float(sum(g))-abs(sum(gx)/float(sum(g)))**2`	`sum(g.abs(x).^2)/sum(g)-abs(sum(g.x)/sum(g))^2`
Varianz (mit Bessel-Korrektur, nur für unabhängige $x_{i}$ erwartungstreu)	$s^{2} = \frac{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}) \cdot [\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {(x_{i} - \overline{x})}^{} (x_{i} - \overline{x})]}{{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i})}^{2} - (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{2})} = \frac{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}) \cdot (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {\| x_{i} - \overline{x} \|}^{2})}{{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i})}^{2} - (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{2})}$ $= \frac{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}) \cdot (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{} x_{i}) - {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i})}^{2} \cdot {\overline{x}}^{} \overline{x}}{{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i})}^{2} - (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{2})} = \frac{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}) \cdot (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {\| x_{i} \|}^{2}) - {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i})}^{2} \cdot {\| \overline{x} \|}^{2}}{{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i})}^{2} - (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{2})}$ $= \frac{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}) \cdot (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i}^{} x_{i}) - {(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})}^{*} \cdot (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i})}{{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i})}^{2} - (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{2})} = \frac{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}) \cdot (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} {\| x_{i} \|}^{2}) - {\| \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} x_{i} \|}^{2}}{{(\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i})}^{2} - (\sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i}^{2})}$	`(sum(g)sum(gabs(x)*2)-abs(sum(gx))2)/float(sum(g)2-sum(g**2))`	`(sum(g)sum(g.abs(x).^2)-abs(sum(g.*x))^2)/(sum(g)^2-sum(g.^2))`
Varianz (mit Bessel-Korrektur für korrelierte Daten, erwartungstreu, nur für Leistungssignale, s. hier)
Korrelationskoeffizient (nur für zwei Signale oder Zufallsgrößen, s. hier für Leistungssignale oder hier für periodische Signale)