Holger Nobach - nambis.de

Signal- und Messdatenverarbeitung

Momente incl. Korrelationskoeffizient komplexer Zufallsgrößen, ohne Gewichtung

		Python	Matlab/Octave
Vorbereitung (Laden von Modulen/Paketen)		`from numpy import * from numpy.random import * from matplotlib.pyplot import *`	`%Octave: pkg load statistics %Matlab: erfordert die Statistics and Machine Learning Toolbox`
Generieren von $N$ Werten $x_{i}$ mit $i = 0 \dots N - 1$ (normalverteilte Zufallsgröße als Beispiel, mit dem Erwartungswert $μ = 3 + 1 𝐢$ und der Standardabweichung $σ = 1$ )		`N=100 mu=3 sigma=1 x=normal(real(mu),sigma/sqrt(2),N)+1j*normal(imag(mu),sigma/sqrt(2),N) plot(real(x),'o',imag(x),'o') show()`	`N=100; mu=3+1j; sigma=1; x=normrnd(real(mu),sigma/sqrt(2),[1,N])+1j*normrnd(imag(mu),sigma/sqrt(2),[1,N]); plot((1:N),real(x),'o',(1:N),imag(x),'o')`
Mittelwert	$\overline{x} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}$	`mean(x)`	`mean(x)`
Varianz (ohne Bessel-Korrektur, asymptotisch erwartungstreu)	$s^{2} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{} (x_{i} - \overline{x}) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} {\| x_{i} - \overline{x} \|}^{2}$ $= (\frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i}^{} x_{i}) - {\overline{x}}^{*} \overline{x} = (\frac{1}{N} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} {\| x_{i} \|}^{2}) - {\| \overline{x} \|}^{2}$	`var(x)`	`var(x,1)`
Varianz (mit Bessel-Korrektur, nur für unabhängige $x_{i}$ erwartungstreu)	$s^{2} = \frac{1}{N - 1} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \overline{x})}^{*} (x_{i} - \overline{x}) = \frac{1}{N - 1} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} {\| x_{i} - \overline{x} \|}^{2}$	`var(x,ddof=1)`	`var(x)`
lineare Trendbereinigung		`import scipy.signal as scisig x=scisig.detrend(x)`	`x=detrend(real(x))+1j*detrend(imag(x));`
Trendbereinigung mit Polynom $p$ -ten Grades (Ergebnis der Regression $\tilde{x}$ )		`p=5 a=arange(0,N) c=polyfit(a,x,p) xtilde=zeros(N) for j in range(0,p+1): xtilde=(a*xtilde+c[j]) x-=xtilde`	`p=5; a=(1:N); c=polyfit(a,x,p); xtilde=zeros(1,N); for j=1:p+1 xtilde=(a.*xtilde+c(j)); end x=x-xtilde;`
Varianz nach Trendbereinigung mit Polynom $p$ -ten Grades (Ergebnis der Regression $\tilde{x}$ , mit Bessel-Korrektur, nur für unabhängige $x_{i}$ erwartungstreu)	$s^{2} = \frac{1}{N - p - 1} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} {(x_{i} - \tilde{x})}^{*} (x_{i} - \tilde{x}) = \frac{1}{N - p - 1} \cdot \sum_{i = 0}^{N - 1} {\| x_{i} - \tilde{x} \|}^{2}$	`var(x,ddof=p+1)`	`N*var(x,1)/(N-p-1)`
Varianz (mit Bessel-Korrektur für korrelierte Daten, erwartungstreu, nur für Leistungssignale, s. hier)
Korrelationskoeffizient (nur für zwei Signale oder Zufallsgrößen, s. hier für Leistungssignale oder hier für periodische Signale)